DFS

periodic focused DTFS with discrete frequency

\hat x[n] \xleftrightarrow{DFS} \hat X[k]

\text{Analysis: }\hat X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} \hat x[k] e^{-j2\pi kn / N} \newline \text {Synthesis: } \hat x[n] =\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \hat X[k] e^{j2\pi kn / N}

\text {Since } \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}e^{j(2\pi/N)(k-r)n} = \begin{cases} 1, & \text{k-r = mN}\\ 0, & \text{else} \end{cases}

DFS Notion

Data Sampling 처럼 discrete signal DTFT로 continuous frequency 가졌던 거를

2\pi k /N

으로 sampling하면

x[n]

→

\hat x[n]

이 된다. 이것도 듀얼리티이고 discrete의 핵심

X(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{2\pi}{N} \hat X[k]\delta(\omega - \frac{2\pi k}{N})